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10/7/2008 Motifs and Formyl Groups 坐地铁的时候， 我旁边一个小女孩在专注的看她手中的资料，
因为有好些化学符号的图示， 我就多看了两眼， 发现题目是: Motives and Formal Groups.
额的神啊， 这美国的数学教育也太NB了。 一高中生就在地铁里面研究Motives 和 Formal Groups了， 把我吓出一身冷汗。
回家请示了一下领导， 才知道正确的拼法是 Motifs and Formyl Groups.
11/15/2007 弄个小谜语 老李今有一物， 惜不知其所属。
三三数之不尽， 五五除之不绝。
加一还是真身， 乘零依然本色。
无奈之下，大雪地里前滚翻720度，裸问其大名？
答曰：我不是我。
Hint: Matlab 6/16/2007 歌德是个大作家 歌德是个大作家， 他写了好些不朽之作；
巴赫是西方音乐之父， 一个伟大的作曲家。
他们俩一同提了个猜想， 到今天还没有解决。
如果你对数论里面的猜想感兴趣， 请参阅张伟同学的blog...
4/25/2007 高中数学题好多奖金等你去拿。。。
Maths enthusiasts are being challenged to answer a sample question from Chinese university entrance tests.
The tests are set for prospective science undergraduates. The UK's Royal Society of Chemistry is offering a £500 prize to one lucky but bright person who answers the question below correctly. It has also published a test used in a "well known and respected" English university - the society is not naming it - to assess the strength of incoming science undergraduates' maths skills. 3/30/2007 A GRE Problem 初中数学题， 昨天下课后一个ABC告诉我的题目， 看你几分钟能搞定。
To find the largest integer which divides p^4 - 1, for any prime number p greater than 5.
找出能被p^4 - 1整除的最大的整数， p取遍所有大于5的素数。 2/5/2007 Super Bowl XLI 看到超级碗的广告， 不知道XLI表示第多少届， 于是打开wiki查查罗马数字。
其基本构成有 I=1, V=5, X=10, L=50, C=100, D=500, M=1000,
再后面就要循环利用了，V=5000, X=10000, 头上加个ba， 表示乘了1000。
这种系统很像今天使用的纸币， 如果不考虑2块和20块的。
对于数的表达方式， 就好比拿一堆钞票出来付几百上千的账一样麻烦， 远没有咱中国的十进制先进。
想必是当年罗马那小规模， 怎么会有百万这种数量级的忧虑， 所以这套系统也就够用了，
虽然有点点的麻烦。
正准备关掉网页窗口的时候， 看到了两个有趣的数字，
DCLXVI 和 VMDCLXVI,
相当于每种面值的钞票都取且仅取一张， 分别得到 666 和 6666.
这 666 就是传说中的兽名数目(Number of the Beast)， 引申出来的故事， 那叫一个多啊。
哎， 无知的数字崇拜。。。 12/9/2006 看客慎入， 后果自负11/9/2006 于是， 我们就证明了Bloch-Kato Conjecture 下课前， 老板用了一整面黑板， 画了一个图表。
最后的两列是 Automorphic 和 Motivic.
在 Automorphic 的上半部分， 是 Congruences btwn ordinary Eisenstein Series;
下半部分， 写着 Congruences btwn critical Eisenstein Series,
连接其间的， 乃 p-adic Functional Equations.
于是， 老板宣布， 我们就证明了Bloch-Kato Conjecture. 7/19/2006 19号，7月19号，06年7月19号。 晴，无风，有血光，忌远行清晨， 曼哈顿上岛， 烈日。
我走在110街， 路过一个水果摊， 便向东南角探望了一下。
这一眼看过去， 顿时傻眼了， 拔腿开跑。
一秒钟之后， 我刚才在的位置， 倒下两个人，
如果我最后没有跳跃起来， 像足球场上躲避飞铲那样，
我应该是倒下的第三个人。
5分钟之后， 我右脚踩到口香糖。
11分钟之后， 刚买好的咖啡杯的盖子裂开了。
我掐指一算， 19, 719, 6719, 全是素数， 亲娘啊。
下一个这么血光的日子还有多久呢， 也许就是世界末日。 6/16/2006 谁将BSD猜想证明了吧， 从此我不再失眠最近， Poincare猜想被两个中国人最终证明的一系列报道，
重新唤醒了国人对于数学， 尤其是数学猜想的无限热情。
昨天， 在纽约， 居然也碰到了民间科学家，
30来岁， 来自成都的一个妇女，
满腔热血的要找证明Poincare猜想的paper来研究。
她自述一周上6天班， 周四是唯一的休息日，
赶紧跑到数学系图书馆里来查资料。
她还说， 想转行数学的目的是绿卡。
替她惋惜啊， 并借用文学青年的话：
她善走极端， 仿佛极端也是一条途径... 3/26/2006 向左走， 向右走 (二)自写了有间客栈之后， 本店生意兴隆， 客人络绎不绝啊，
我成了薛定谔的猫， 50%的概率一个人住， 50%的概率两个人住。
上周写完向右走， 今天踢球的时候把右腿伤了， 只能向左走也。 额的神啊
我发现把自己和H. MinKowski相提并论是相当的无耻， 但故事已经开了头，
就接着说这位Minkowski一堂课没有搞定四色定理， 就来了第二堂课， 第三堂课。
我们今天这第二堂课， 在说向左走之前， 先谈谈距离。
通常的距离大家都很熟悉， 就是两个数之差的绝对值，
那么一个数到0的距离就是这个数的绝对值了。 且称之为欧式距离 。
回到我们的自然数， 任意选一个素数， 比如7好了(my favorite)。
我们发现0可以被7整除无穷多次， 而14只能被7整除1次， 49可以被整除2次。
如果我们按被7整除的次数来定义距离， 那么49就比14更接近0，
343比前两者都更接近0。
进一步， 我们看到所有不能被7整除的数到0的距离都一样， 而且最遥远，
把这样一个距离定义为1， 那么所有的自然数就成了一个圆盘。
你也许会认为0就是圆心， 没错， 0是圆心，
但惊奇的是， 圆盘内部所有的点(能被7整除的数)都是圆心。
你只要任算一个圆周上的点(比如10)到7的距离， 10-7=3， 不能被7整除，
发现距离也是1， 就可以说明7也是圆心。
这个定义自然的也能放到所有的有理数上面去，
比如 1/7 被认为能被7整除-1次。 但我们只讨论自然数， 简单点更容易看清楚。
我们在这里固定了一个素数7， 定义了一种距离， 另选一个素数，
比如 17 (但不能是57, Grothendieck Prime number)， 同样也可定义一种距离，
但这两种距离是不等价的。
如果我们把所有的距离按等价关系全排列出来， 发现对应到所有的素数，
和我们常见的欧式距离。
注: 文中所说的点也是数， 数也是点。
额说， 腿受了伤， 就先歇歇， 再向左走， 也是我们就没有走。
有早上， 有晚上， 这是第四日。 3/18/2006 向左走， 向右走 (一)今天， 我们来构造实数。
写完上面的话， 我想起了一个故事， H. Minkowski在课堂上向学生们自负的宣称： "四色定理没有证明的最要的原因是至今只有一些三流的数学家在这上面花过时间。下面我就来证明它。" ... ...
前面我们构造了有理数， 在古希腊， Pythagoras那个年代，
人们以为有理数就是世间的一切，就如同认为地球就是宇宙的一切。
所以当Pythagoras的学生发现根号2不是有理数时， 等待他的只有大海里的鲨鱼。
我们知道有理数可以写成小数， 而且总可以写成循环小数，
那怎样来区分1.000000000000...和0.9999999999999...这两个循环小数呢，
我们定义"距离"这样一个函数， 并且发现上面的两个小数距离为0， 故而相等。
接下来我们考虑这样一个小数 a :
0.1001000100001000001000... (相邻的两个1之间的0的个数越来越多)
所以这个小数 a 不是循环小数， 也就不是有理数了。
然后我们再看看 a 到小面这个数列的距离，
0.1000000000000000000000... (一级楼梯)
0.1001000000000000000000... (二级楼梯)
0.1001000100000000000000... (三级楼梯)
... ...
发现 a 到上面这些有理数的距离越来越小。
你可以想像成是搭楼梯， 每次搭出来都是有理数， 进行了无穷次搭建之后，
(注：我们前面有了"无穷大"， 所以在集合论里可以实现无穷次搭建了)
我们惊奇的发现， 得到的不再是有理数了。
就如同， 这些楼梯伸到了外太空， 我们发现地球不再是宇宙的全部。
上面的例子告诉我们， 在通常的"距离"定义之下，
有理数这个集合是"千疮百孔"的， 我们很容易搭建出到外太空的楼梯。
我们把有理数集合补好， 就得到了实数集合，
这次是真正的如来佛的手掌， 你永远都无法逃逸出去了。
数学上， 称之为"完备"。
再回头看上面的例子， 随便写一个小数，
我们可以在小数点右边无穷多次任意的添加数字。
那么， 我们可否在小数点左边无穷多次任意的添加数字呢？
如果这样， 相邻两个数字之间的"距离"越来越大，无穷次之后就爆掉了。
在这样的"距离"下， 我们只能一直往右走， 而不能一直往左走。
简单的来说就是： 有理数，往右走， 得到的"完备"集合， 就是实数。
显然， 实数集合也是无穷大的， 那它和前面的无穷大是否"一样多"呢?
另外我们注意到， 往右还是往左， 取决于"距离"的变化， 是趋大还是趋小。
那什么时候可以往左走呢？ 又得到什么集合呢？
额的神说， 要有实数， 于是就有了实数。
有早上， 有晚上， 这是第三日。 3/13/2006 温故而知新吾日三省吾身。。。
春假， 无课， 却习惯性的要讲解点东西， 所谓传道授业解惑也。
现在， 我们先回顾一下前面提到的自然数和集合论。
有限主义者(Finitist) L. Kronecker宣称是上帝创造的自然数，
用集合论的语言来定义大致是这样的：
0 被定义为空集， 1 被定义为以空集为元素的集合，
归纳的， 就可以定义出所有的自然数来。
然后， 我们发现自然数的集合， 元素个数不再是有限了， 而是无穷大。
从Hilbert的旅馆这个例子， 我们知道无穷大和自然数的性质很不一样。
另外一方面， 我们用集合论来定义自然数， 希望由此构建数学的基础，
但却意外的发现， 集合论本身并不牢靠， 有理发师悖论(Russell's Paradox)。
怎样解决这类悖论呢？ 让数学不是建在沙地上的高层建筑。
花开两朵， 各表一支。 我们先来谈谈数和无穷大。
有了自然数， 接下来一个自然的问题， 就是怎样构造有理数。
这个大家应该都很熟悉了， 定义一个自然数对(1,2)为二分之一，
我们发现(1,2)和(2,4)两个pairs其实是同一个数， 于是称这样的关系为等价。
如果我们用N表示含0的自然数集合， N'表示不含0的自然数集合(因为是分母!)，
那么N x N' 再加上等价关系就是有理数集合了。。。
显然， 有理数也是一个无穷大的集合， 而且， 看上去比前面的无穷大多很多。
那么， 它是不是"真的"比自然数的无穷大"多"呢？
小学的时候， 应该比较过两条不同长度线段上面的点。
假设用一个灯去照， 把一条线段投影到另外一条上面去。
那答案又是什么呢？ 有时多， 有时少， 有时一样？ 取决于灯的位置。
G. Cantor 天才的从这个例子里面找到了"一一对应"的思想，
如果两个集合能建立起一一对应的关系， 就认为它们的元素个数"一样多"。
于是， 我们发现有理数集合和它的子集合自然数的元素个数"一样多"，
这一"奇怪"的现象也出现在Hilbert's Hotel例子中。
就是这些"有悖"于常识的"奇怪"现象， 最终让G. Cantor"疯了"。
接下来， 我们就要问， 那怎样构造实数和复数呢？
所有的这些无穷大都"一样多"么？ 欲知后事如何， 且听下回分析。
神说， 要有有理数， 于是就有了有理数。
有早上， 有晚上， 这是第二日。 3/9/2006 有间客栈终于过完了这两天， 比妇女主任还要忙活的两天，
明天不用早起， 春假基本上算是到来了。
关于这十来天， 原来的各种计划全部泡汤， 最后只好留守在家，
继续P-adic上面的"样条函数"理论：
给我一个点， 我告诉你全部(无穷多哦)。
今天给学生半期考试， 让我再次领教了美国学生的觉悟，
既使是和sample一样的题目， 答案贴出来几天了， 很多人还是不会。
难道让我下次直接把答案写在试卷上面， 恐怕这样也有人会忘了签名。
我知道， 自己在学微积分的那个年龄， 无论教授在课上怎么讲，
我还是只会在考试前把书打开， 望着一堆数字符号发呆， 最后什么也没记住。
那， 到底应该给他们讲些什么数学， 怎样给他们讲微分和积分？
才能让他们回首Calc I的时候， 能像我回首数学基础课那样， 有所顿悟呢。
我们还是先忘掉这些可爱的学生， 继续数学基础的讨论。
无间道里面有句话： 出来混， 迟早都是要还的。
以前在blog里面打了很多广告， 现在该是兑现的时候了。
今天讲一个关于无穷大的小故事， 题目叫Hilbert's Hotel.
据说所有关于Hilbert的传记， 都绝对不会涉及到他的个人生活问题，
于是就没法知道他和张伯伦到底谁接触的比较多，
但可以肯定的是， 既使和这两个人都有关系的女人同时来到Hilbert的旅馆，
也能保证给她们安排房间， 甚至在已经客满的情况下， 仍然没有问题。
原因在于， Hilbert的旅馆， 每个房间编号是个自然数，
而且每个自然数都有唯一一个对应的房间。 他居然有无穷多个房间！
现在旅馆客满， 女人们又都来了， 怎么办？
不用慌， 就算来了十万个客人， Hilbert也有办法，
首先叫住在一号房间的客人搬到十万零一号房间， 二号的搬到十万零二号，
三号的到十万零三号， 依此类推， 原来的客人就都安排好了。
现在我们发现有了十万个空客房， 正好给新来的女客人们。
甚至，新来的客人和正入住的客人一样多的情况， Hilbert也能给每个人一间房。
这个故事当然是很naive的， 但却是一个好的生财之道。
一个不是很恰当的例子是信用卡， 那些突然消失的人， 他们就从中赚到了。
再来一个接近完美的例子， 政府为了花未来的钱，就发债券，
一般说来国家的生命是比较长久的， 所以政府是真的赚到了。
但这个arguement是不能乱推广的， 否则你就会得到Zono's paradoxes(芝诺悖论)，
比如 Achilles and the tortoise(龟兔赛跑悖论)。
金庸有天住进了Hilbert‘s Hotel， 题词： 有间客栈。
古龙听了这个故事说： 客栈， 有间客栈， 那一定是Hilbert‘s Hotel， 这个世界上只有Hilbert才能办到这件事情， 否则它就不叫Hilbert’s Hotel了。 2/18/2006 Je pense, donc vous êtes.我总试着告诉大家， 数学其实也是哲学。。。
You scored as Philosophy.
You should be a Philosophy major! Like the Philosopher, you are contemplative and you enjoy thinking about the purpose for humanity's existence.
2/4/2006 Sun Yat-Sen Middle School周六， 上午， 为小孩子们改数学竞赛试卷， 这已经是第三个年头了。
只是在今年， 8点以前起床， 不再是一个很重大的牺牲了。
今天， 志愿者比学校还多， 于是只需要改一个学校的试卷。
要是明年志愿者比学生还多， 那就真的没事做了。。。
在一长串的学校名单里面， 我一眼就看到了 Sun Yat-Sen Middle School，
便拿着自己手上的Trinity School， 要求和身后的黑妹妹交换学校。
她故意做出很喜欢Sun Yat-Sen 的样子， 把名单抱在怀里， 不肯放手，
然后突然大笑起来， 很乐意的交换了两个学校的名单。
我仔细的核对了参加竞赛的8个学生的名字， 全部都是华裔。
改试卷的过程， 就不再充满欢乐了， 相反， 我有些愤怒。
右手边， Rich那里的最低分， 在我这里可以列至次席，
而他手中的最高分仍不能进入Top 10.
Rich摇了摇头， 说： 有辱先贤。
晚上， 良宵 到了纽约， 同去Cottage吃饭， 回来途中， 一阵大雨， 好生狼狈。
每根头发都滴着水， 气温只有几度， 希望不要感冒了。
席间， 感慨做数论， 现在也成了应用数学， 众人叹气。。。
又一周过去了， 时间终于可以正常的运转， 那何不让它再转快点呢？ 12/4/2005 那是， ○五年冬天的第一场雪早上， 闹钟叫醒了两次右手食指， 隐约听到暖气的斯斯声，
我赖在床上， 继续享受冬天里被窝的温暖。。。
起床， 发现窗外白茫茫一片， 浅浅的， 透着一丁点的寒气。
一杯新鲜果汁， 几只怀旧歌曲， 我静静的坐在电脑前面， 点开Blog。
那是， 九六年冬天的第一场雪， 合肥。
暖气不是很充足， 趴在二教的课桌上睡觉， 我感到些许寒意。
啪， 啪， 讲台上沉重的跺脚声把我吵醒。
我看到汪芳庭， 一个总喜欢跺脚的教授， 尤其是讲到精彩处(也许是为了提醒我这样睡觉的人)，
穿着一件单薄的T恤， 浑身冒着热气， 正在激动的讲课。
刚从高中的二次曲线中走出来， 我还不知道无穷到底有多大。
他就要用Cantor的伟大的一一对应思想， 给所有的无穷大们排序。
坐在我旁边的， 是两个从西区计算机系赶过来的老乡， 他们正认真的记着笔记。
每次， 我都是抄他们的作业， 还故意漏两题不做。
这个月底， 成都， 就要去参加其中一位老乡的婚礼了， 伴郎， 就是我。
话归正传。 当时， 那个在寒冷中抖擞的我， 看到红光焕发的汪教授，
心底陡然升起对Cantor的崇拜，研究集合论居然能够产生这么大的能量，
下雪的日子里， 也只用穿一件T恤。
可惜， 那门课几乎已经结束了。
很多年以后， 我才知道， 汪教授告诉了我们怎样用集合论的方法，
从无到有， 构造自然数， 有理数， 实数， 复数。
又很多年以后， 我再也想不起来他把这门课安排在大一的原因， 现在也很不明白。
再很多年以后， 如果， 我想， 他能加入赋值的概念， 同时构造所有的p-adic数域该多好啊。。。
题外话：
12月， 年关， 所有的事情都拥挤了过来， 琐碎的， 繁杂的，
真希望能随着飞机逃离这一切， 但那明明是张往返机票。 11/27/2005 他， 终于疯了现在来说说集合理论(Set Theory)的正史。。。
第一个系统研究集合理论的人叫做 Georg Cantor，
他出生在俄国， 11岁之后搬家到了德国， 终生没有用俄文发表过paper。
1867年， 在柏林大学， 他获得博士文凭， 论文是关于数论的， 当时他22岁。
1872年， 在Halle被提升为杰出教授， 同年开始了和Julius Dedekind的友谊关系。
1873年， 他证明了有理数集合(甚至是代数数集合)是可数的， 也就是和自然数一样多；
在这一年的12月， 他还证明了实数集合是不可数的， 也就是说几乎所有的实数都是超越数。
1877年， 他写信给Dedekind， 他证明了[0,1]和单位格子， 甚至任意有限维单位格子的元素个数是一样多的， 同时他也说：
I see it, but I don't believe it!
同年， Leopold Kronecker怀疑他投给Crelle's Journal的一篇论文正确性， 在Dedekind出面的情况下论文最终得以发表， 从此两人结下梁子。
1879-1884， 他在Mathematische Annalen上面连续发表了6篇论文介绍集合理论。
1882年， 当Dedekind拒绝了Cantor的邀请去Halle做主任， 他受到了严重的打击， 之后断绝了和Dedekind长达10年的书信往来。
1884年5月， 第一次有记录Cantor抑郁症发作。 普遍的观点认为这来自于他对数学的忧虑和Kronecker的攻击。
一方面， 他担心自己无法去证明连续统假设(continuum hypothesis)， 也就是说如果我们按照集合元素的个数来排序， 自然数之后， 就应该是实数， 中间不会有其他集合出现。
另外一方面， 1885年， Magnus Mittag-Leffler叫他收回投给Acta Mathematica的一篇paper， 他觉得受了侮辱， 立即中断了和Mittag-Leffler的书信往来， 随之而中断的是他对集合论十几年的研究。
之后， 他开始和哲学家接触， 探讨集合论。
1897年， 他出席了首届世界数学家大会(ICM)， 在Zurich， 他碰到了Dedekind， 两人握手言和。 同时， 他发现了集合论的第一个悖论。
1901年， 英国的哲学家Bertrand Russell(罗素)用简单通俗的语言描述了这样一个悖论， 类似于理发师的尴尬， 世人称之为罗素悖论。
1911年， 辛亥革命前夕， Cantor受邀来到英国， 他非常想见见Russell， 可惜因为紧急事件不得不提前离开。
在Cantor四十岁之后， 常常受到抑郁症的困扰， 他不得不停下研究工作， 严重的时候， 他甚至要住进精神病医院。
1917年6月， 他最后一次被关起来， 他坚持写信给妻子要求被放出去， 未果。 最后， 于次年元月， 死于心脏病发作。
回顾完先驱Cantor坎坷的一生， 让我想起了大一时候上的一门课：
数学基础 11/23/2005 理发师的数学故事发生在大约一百多年前的大英帝国，
有一个出生在威尔士的小青年， 叫剌瑟尔，
他虽出名门， 但两岁丧母， 四岁葬父， 六岁亡祖， 可谓凄惨之至。
为了谋生， 他做了个理发的小学徒， 等到十八岁的时候，
终于在镇上开了一家属于他自己的理发店。
剌瑟尔是个有思想的青年， 没过几年他就成了当地最有名的理发师。
后来， 既使理发师们， 也开始来找剌瑟尔做发型了。
为了作弄那些同行们， 于是， 在1898年， 他立了这样一条3年有效的规定：
我的顾客， 要是所有的那些不给自己理发的理发师。
很快， 剌瑟尔发现了自己的尴尬处境， 他要不要为自己理发呢？
首先按照规定他不能给自己理发，
但如果他不给自己理发， 按照规定， 他又必须为自己理发。
结果是， 他被人嘲笑了3年。
1900年的夏天， 他决定到欧洲大陆去散散心，
于是他来到了巴黎， 在旅馆里碰到一群开大会的数学家，
其中有一个叫皮阿诺的年轻人， 总是不停的给他唠叨。
为了摆脱这些烦恼， 剌瑟尔不得不提前回到英国， 继续郁闷。
然而， 皮阿诺说的东西， 却总是挥之不去。
一年之后， 剌瑟尔终于明白了在巴黎听来的术语，
接着， 他把自己的尴尬翻译成数学术语， 公之于众。
整个世界哗然一片， 因为几乎每个人都感觉到了数学是建立在一片沙地上的。
剌瑟尔完全没有意料到他的尴尬原来也是数学的尴尬，
于是他决定放弃理发师这份职业。
全心的， 花了几年的时间， 写了一本书： 数学原理。
后人， 都称他为哲学家。。。
(本故事纯属虚构) |
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